Un reconocido senderista un día
decidió subir una montaña de 1 km de altura, saliendo desde el
campamento base, situado a altura = 0 km a las 12 en punto del mediodía.
La subida la comenzó a un ritmo frenético, estaba descansado y se sentía con fuerzas, pero al cabo de un tiempo comenzó a ir muy lentamente, incluso pudo llegar a descender unos metros, al final repuso fuerzas y ya no paró hasta alcanzar la cima. A media tarde, a eso de las 18 horas llegó a la cima algo cansado y decidió quedarse a
pasar la noche en la montaña.
A la mañana siguiente, después de
desayunar comenzó a bajar, dándose la casualidad que comenzó la caminata de
regreso a las 12 en punto del mediodía, la misma hora a la que empezó a subir
el día anterior. En la bajada apenas se detuvo y fue a un buen ritmo de
descenso de forma que llegó al campamento base a las 14:30 horas.
Después de comer, tomándose un
café con un compañero de montaña se le notaba algo intranquilo, como si en la
montaña le hubiese pasado algo extraño.
“¿Qué te pasa?”, le preguntó su amigo.
“Verás _comenzó a contestar_
desde que he bajado la montaña esta mañana me encuentro con una extraña sensación.
Resulta que en un instante de la bajada (no me acuerdo de la hora exacta) me dio
la sensación de que el día anterior estuve allí exactamente a la misma hora, y
me parece que eso es demasiada casualidad”.
¿Creéis que es casualidad lo que
le ha pasado al senderista o siempre será así, independientemente de la altura
de la montaña y del tiempo que tarde en bajar?.
Parece que es mucha casualidad lo que le ha ocurrido, y en una primera impresión creemos que no es cierto, pero después de pensar un buen rato, y hacer algunos dibujillos llegamos a la conclusión de que es cierto, que tarde lo que tarde en subir y en bajar habrá un punto donde se encuentra los dos días a la misma altura.
Para verlo os dejo la siguiente animación. Sobre unos ejes de coordenadas donde el eje de abscisas representa el tiempo y el de ordenadas la altura vamos a dibujar dos funciones
"continuas", una representa la altura el día que subía y la llamamos $h_s(t)$ y va desde $t=0$ a $t=6$ horas partiendo de una altura $h_s(0)=0$ y llegando a una altura de $h_s(6)=1$. La otra, a la que llamaremos $h_b(t)$ representa la altura el día que bajaba respecto al tiempo empleado.
altura en función del tiempo
Una cosa que hay que tener en cuenta, es que ambas funciones son continuas, cosa lógica ya que para llegar a la altura deseada has tenido que recorrer las distintas alturas inferiores, bueno, a no ser que te pongan directamente en helicóptero en una altura determinada, pero esa no es la cuestión.
En fin, estamos ante dos funciones continuas en un intervalo cerrado $[0,6]$, lo tomamos de ese tamaño y tenemos en cuenta que la función que representa la bajada a partir de $t=2,5$ siempre vale cero, aunque esto no cambia el resultado.
Cuando estudié C.O.U. hace más de 20 años, nos mostraron en clase el "
Teorema de Bolzano", que es un caso particular de "
Teorema de los Valores Intermedios", el Teorema de Bolzano se puede enunciar como sigue:
Si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y resulta que $f(a) \cdot f(b)<0$, es decir, son de distinto signo, entonces existe un punto $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$.
Ahora bien, ¿cómo podemos aplicar este Teorema a nuestro problema?, pues definimos la función $f(t)=h_s(t)-h_b(t)$, que resulta que es continua al serlo las funciones que la componen, además se tiene que $f(0)=h_s(0)-h_b(0)=0-1=-1<0$ y $f(6)=h_s(6)-h_b(6)=1-0=1>0$, entonces estamos en las condiciones de Teorema de Bolzano, esto es, existe un punto $c\in(0,6)$ tal que $f(c)=0$. Pero
$$f(c)=h_s(c)-h_b(c)=0\Rightarrow h_s(c)=h_b(c),$$
y por tanto, el punto $c$ que está entre 0 y 6 es el punto en el que coincide la altura el día de la subida y el día de bajada.
Es una pena que en los planes de estudio actuales de 2º de Bachillerato, heredero natural del extinguido C.O.U., no se le de importancia a la teoría en matemáticas. Chicos, os perdéis cosas tan bonitas como esta.
Esta entrada participa en la
Edición 4.123105 del
Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog
Cifras y Teclas.
