¿Super once?

Hace un par de días oí en la radio una cuña publicitaria del sorteo Super Once de la Once en el que se decía textualmente "muy fácil, cada día por un solo euro, puedes ganar hasta 1.000.000€. Solo tienes que acertar 11 de los 20 números que se extraen del bombo."

Pues bueno, como indican que es muy fácil me he puesto a hacer las cuentas. En primer lugar he tenido que conocer el sorteo que no lo conocía, aunque lleva unos pocos años ya en el mercado.

Resulta que tienes que marcar 11 de los 80 números del cartón del juego, esa apuesta vale un euro. Hay más opciones para jugar, marcar menos números, apostar más euros, etc. Aquí tenéis todas las opciones del juego, aunque me voy a centrar en analizar la que ponen de ejemplo en el anuncio.

En primer lugar vamos a ver cuántas posibles combinaciones hay en juego. Nos preguntamos: ¿cuántos grupos de veinte números, sin repetición, se pueden hacer de un conjunto de 80 números?. Para ello tenemos la combinatoria, puesto que estamos hablando de combinaciones de 80 elementos tomados de 20 en 20, que son: $$C_{80,20}=\binom{80}{20}=\frac{80!}{(80-20)!\cdot20!}=3\,535\,316\,142\,212\,174\,320,$$

que son muchas, muchas posibilidades, más de 3 trillones y medio de ellas.

Ahora vamos con las posibles combinaciones que nos harían ganar si acertamos los once números. Si suponemos que salen nuestros 11 números, de cada combinación de 20 que los contenga los otros 9 pueden ser cualquiera de los 69 números que no hemos elegido, esto es, tenemos como posibilidades ganadoras:

$$C_{69,9}=\binom{69}{9}=\frac{69!}{(69-9)!\cdot9!}=56\,672\,074\,888,$$56 millones y pico. que también son muchas, pero ¿es muy fácil?, como dicen en el anuncio.

Tomando la regla de Laplace ya que es un experimento donde todos los sucesos son equiprobables, puesto que tiene la misma probabilidad en salir cualquier combinación de los 20 números, tenga o no los que yo juego, podemos afirmar que:

$$P(acertar\ 11\ números)=\frac{casos\ favorables}{casos\ posibles}=\frac{C_{69,9}}{C_{80,20}}=\frac{56\,672\,074\,888}{3\,535\,316\,142\,212\,174\,320},$$que queda $1.60\times10^{-8}=0.000000016$, hombre que yo creo que no son muchas. Pero vamos a compararlo con otro juego de lotería, La Primitiva, que tiene fama de difícil.

Para ganar La Primitiva hay que acertar 6 números de 49 que hay en el bombo:

$$P(acertar\ 6\ en\ La\ Primitiva)=\frac{1}{C_{49,6}}=\frac{1}{13\,983\,816}=71.5\times10^{-9}=0.0000000715,$$que resulta que es casi 4 veces y media mayor que la del Super Once de la Once.

O sea, un juego que es difícil es mucho más sencillo de acertar que un juego que es muy fácil. ¿Qué es lo que falla?.

Es intachable la magnífica labor que realiza La Once, pero lo que no me parece correcto es que nos intenten confundir con lo fácil o difícil que puede ser ganar un sorteo. Por naturaleza, jugar a la lotería es difícil y si fuésemos sensatos dejaríamos de hacerlo.

Bueno voy a terminar ya esta entrada que me voy a echar La Primitiva y a comprar un Super Once antes de que cierren.
Manuel Maldonado


PD: Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

John Nash, la búsqueda permanente de la idea original.

Vaya, a través de este comentario, nuestro pequeño homenaje a un gran matemático estadounidense nacido a comienzos del pasado siglo. Hablamos de John Forbes Nash, que hace unos días perdió la vida a consecuencia de un desafortunado accidente de tráfico. 

En el campo de las matemáticas, Nash destacó por su estudio y especialización en la teoría de juegos, la geometría diferencial y las ecuaciones en derivadas parciales. Uno de sus mayores logros profesionales le llegó en el año 1994 cuando le concedieron el Premio Nobel de Economía. 

Ya desde niño, John Nash se mostraba diferente, introvertido, con acentuados trastornos emocionales y una capacidad intelectual atípica para su edad. Se sostiene que fue la lectura del libro "Men of mathematics", publicado por Eric Temple Bell en 1937, la que motivó su enorme interés por las matemáticas y la química.

Con tan solo 20 años consiguió una beca para desarrollar el doctorado de matemáticas en la Universidad de Princeton. La carta de recomendación contenía una única línea: « Este hombre es un genio ».

Muy reconocido siempre entre el gremio de investigadores y de expertos relacionados con sus aportaciones a las matemáticas aplicadas, Nash obtuvo una plaza de profesor en el MIT $($Massachusetts Institute of Technology$)$, donde más tarde encontraría en una de sus alumnas a su futura esposa, la salvadoreña Alicia Lardé. Tras un año de matrimonio John fue diagnosticado de esquizofrenia paranoica, enfermedad que se dedicó a combatir durante el resto de su vida. 

Sus teorías han influido, entre otras cosas, en las negociaciones comerciales globales, en los avances de la biología evolutiva y en las relaciones laborales nacionales.

Quizás sepáis mejor sobre quien escribimos si habéis visto la película "Una mente maravillosa", protagonizada por Russell Crowe en 2001. Se trata de un drama biográfico inspirado en la novela homónima de Sylvia Nasar y que cuenta la vida de John Nash. La historia comienza en los primeros años de vida de este prodigio de las matemáticas, quien más adelante comienza a sufrir los delirios de una enfermedad psiquiátrica, mientras ve tristemente como afecta a su condición física y a sus relaciones familiares y amistosas. El filme fue galardonado con cuatro premios de la Academia. 

"He buscado a través de lo físico, lo metafísico, lo delirante, … y vuelta a empezar. Y he hecho el descubrimiento más importante de mi carrera, el más importante de mi vida. Sólo en las misteriosas ecuaciones del amor puede encontrarse alguna lógica".

Pablo Pozo

Ingeniero en Telecomunicaciones

Agua helada

En las últimas semanas las redes sociales han sido inundadas de vídeos donde aparece una persona que se tira un cubo de agua helada por encima. La idea surgió en una campaña de recogida de fondos para la investigación de la ELA (esclerosis lateral amiotrófica).

Las reglas son muy sencillas, quien se moja en el vídeo reta a otras tres personas a que hagan lo mismo, a la vez que los anima a que donen, 10 euros si aceptan el reto y 100 euros si no es así.

Durante el mes de agosto he tenido un grupo de alumnos de 3º de ESO a los que estaba preparando para sus exámenes de recuperación de matemáticas en septiembre. Uno de los puntos más importantes que se tratan en el currículo de 3º y 4º de ESO son las sucesiones. Para los que no lo conozcan una sucesión (en matemáticas) es un conjunto ordenado de números, que además a veces puede tener infinitos elementos, a los elementos de una sucesión se les llama con una letra y un subíndice, que nos indica el lugar que ocupa dicho número en la lista. Por ejemplo en la sucesión $A=\{2,4,6,8,\cdots \}$, podemos decir que el elemento que ocupa el lugar 1 es $2$, o también que $a_1=2$. De igual manera podríamos decir que $a_4=8$, etc. Toda sucesión debe estar bien definida, es decir, se podrá dar una regla, norma, etc., de manera que podamos deducir todos los elementos que forman dicha lista infinita de números.

Este concepto, que no me voy a extender más en explicar, es bastante abstracto para los alumnos, ya que les estamos hablando de una lista infinita por un lado, después le decimos que debemos obtener una norma que nos diga exactamente qué elemento ocupa cada lugar, por otro, osea, que seamos capaces de calcular $a_n\ $ sea quién sea el valor de $n$. Por último les decimos que vamos a poder sumar cierta cantidad de elementos de la sucesión, $a_1+a_2+\cdots+a_m$, de locos ¿verdad?.

Cuando estoy en clase incluyendo cualquier concepto siempre intento ponerle a los alumnos ejemplos que puedan tocar, o que de alguna manera sean de su interés.

Pues bueno, el otro día en clase les reté a que calculasen cuántas personas habían hecho el reto del cubo de agua helada después de 100 iteraciones en el juego.

Si nos fijamos en el juego, y suponiendo que todo el mundo acepte el reto, cuando empieza el reto comienza una persona, o lo que es lo mismo $a_1=1$, este se lo dice a tres, $a_2=3$, cada uno de estos a otros tres $a_3=3\times3=9$, y si hacemos un poco de cálculo observamos que cuando lleven 100 iteraciones habrá $a_{100}=3^{99}$. Esto no es más que una progresión geométrica de razón 3, la progresión geométrica es un caso particular de sucesiones en las que cada elemento viene dado por la potencia de un número, al que llamamos razón. El término general de una progresión geométrica es $a_n=a_1\cdot r^{n-1};\ n\in \mathbb{N}$, teniendo la razón y el primer elemento tenemos todos los miembros de la sucesión. Además podemos sumar un número finito de elementos de una progresión geométrica. Si llamamos $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ tenemos que

$$S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}$$

En el caso del cubo del agua helada y suponiendo que todo el mundo acepte tenemos

$$S_{100}=1\cdot\frac{3^{100}-1}{3-1}$$

que son muchas personas mojadas por una buena causa.

Mediante este ejemplo conseguí mantener a los alumnos atentos a mis explicaciones y además aprendieron que las matemáticas sirven para cosas muy diversas, interesantes y curiosas.

Tarjetas mágicas

A finales de mayo, con motivo de la semana de la ciencia estuve en el CEIP Rico Cejudo de Sevilla dando unas charlas sobre MateMagia. Uno de los juegos que más gustó a los alumnos fue el de las tarjetas mágicas, en él usaba unas tarjetas donde aparecen los números de 1 al 63, aunque no en todas las tarjetas aparecen todos los números.
El juego consiste en que yo, de espaldas a la pizarra donde se proyectan las tarjetas, voy a adivinar el número que los alumnos han pensado. Para ello el dato que me tienen que dar es el número de la tarjeta donde aparece el número que ellos han pensado. Las tarjetas son las siguientes:

Tarjetas "mágicas"

Así por ejemplo, si los alumnos piensan en el número 19, a mí lo que me tienen que decir es "tarjeta 1, tarjeta 2 y tarjeta 5", y yo seguidamente les respondo "19".

Si analizáis un poco las tarjetas podéis descubrir el truco, bueno el hecho que hace que siempre se acierte. Realmente las tarjetas siguen el sistema binario. El primer número que aparece en cada tarjeta es una potencia del $2$, en la primera tarjeta tenemos $2^0=1$, en la segunda $2^1=2$, y así hasta la última en la que tenemos $2^5=32$. De manera que para adivinar el número (seguiremos con el 19) lo que hay que hacer es sumar el primer número de cada tarjeta en la que aparece: $19=16+2+1$.

Pues bien, yo llevaba el juego preparado para sorprender a los chavales, eran niños y niñas de 6º de Primaria, de 12 años como mucho. El que se quedó sorprendido fui yo. Cuando había hecho algunas adivinaciones, un alumno me dice que ha descubierto el juego. Yo le digo que para demostrarlo venga y adivine un número que le digan sus compañeros. Adivinó no sólo el número, sino todos los demás que le propusieron sus compañeros, además se puso a explicar el juego. Realmente maravilloso.

Os dejo el vídeo de la sesión donde se aprecia que el mago no fui yo, sino Raúl. 

Ojalá sea una imagen trucada

La imagen que veis arriba la he encontrado en Twitter, pero no puedo comprobar su autenticidad, ni lo voy a intentar, vaya a ser que descubra que es real.

En ella se aprecia a una concursante de un programa del modelo ¿Quién quiere ser millonario? de un país de habla hispana, que ha hecho uso del Comodín del público para que la ayuden a resolver la cuestión que se le propone en la pregunta. Se me plantean dos posibles causas de la respuesta del público:

1. El público está compuesto en la mayoría por concursantes que participarán si es eliminada la concursante que está en la imagen.
2. El modelo educativo que está vigente en el país de donde es el concurso NO funciona.

Que cada uno escoja la causa que más le guste.

¿Cuál sería la respuesta si hacemos esa pregunta en España?

Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.

Sólo una de estas escaleras es real

¿Sabría decir cuál es?

La solución está aquí

Jugando con un almanaque

Como ya he escrito en distintas ocasiones, las matemáticas y la magia están muy próximas, de manera que nos podemos apoyar en conocimientos matemáticos para hacer magia y gracias a ésta se pueden llegar a entender mejor conceptos matemáticos.

En esta entrada os voy a presentar un sencillo juego, muy divertido y visual y de un gran impacto para el público.

Lo he usado con alumnos de 6º de Primaria y de 3º de ESO, el resultado fue similar, los niños se quedan sorprendidos al ver que les acierto un número a cada uno de ellos.

El juego es el siguiente:

Se le reparte a los alumnos un almanaque de un mes, pueden ser todos diferentes, de distintos meses y años. Los alumnos tienen que elegir dentro del almanaque un cuadro de 4x4 o de 3x3 números, como se presenta en la siguiente imagen:

Muy importante que sean los alumnos los que decidan el cuadrado que han elegido, y que si es posible, no se copien entre ellos para que así aumente la dificultad del juego.

Una vez que han elegido el cuadrado, el matemago comienza a pasarse por las mesas y les va escribiendo  a cada uno un número detrás de la hoja, los alumnos creen que es un número aleatorio.

Seguidamente los alumnos tienen que elegir un número de los de dentro del cuadrado, y tachar los números que se encuentran en la fila y la columna del número elegido, algo así:

Ahora eligen otro número y de nuevo tachan los que se encuentran el la misma fila y columna que el número elegido:

De nuevo, de los 4 que quedan disponibles eligen 1 y tachan los que están en su fila o columna:

Ya sólo les queda un número, pues también lo seleccionan:

Mientras que los alumnos van eligiendo los números hay que ir reforzándoles la idea de que son ellos, y sólo ellos los que están decidiendo qué números seleccionan. También hay que vigilar que no se confundan al tachar la fila y columna del número marcado.

Ahora se les pide que sumen los cuatro números que están sin tachar, recordándoles de nuevo que ellos has decidido los números, podían haber elegido otros.

Resulta que la suma de los cuatro números coincide con el número que el mago les puso al principio del juego a cada alumno.

Divertido, ¿verdad?.

Ahora vamos a explicar el juego. El mago lo que tiene que hacer, una vez que los alumnos han elegido el cuadrado es sumar el primer y el último número de una de las diagonales y multiplicarlo por dos, resulta que ese será el valor de la suma de los cuatro números elegidos por los alumnos. En el ejemplo que estamos poniendo se observa que la suma del primer y último número de cualesquiera de las diagonales es $27+3=30$ o $24+6=30$, luego al multiplicarlo por dos tenemos de resultado $60$, que efectivamente coincide con la suma de los números elegidos: $3+11+20+26=60$.

Esta casualidad se debe a la disposición de los números en una hoja de calendario. Si llamamos $n$ al primer número del cuadro elegido, el cuadro está formado por los números:

$$\begin{array}{llll}n&n+1&n+2&n+3\\n+7&n+8&n+9&n+10\\n+14&n+15&n+16&n+17\\n+21&n+22&n+23&n+24\\ \end{array},$$

donde podemos comprobar que, empecemos por el número que empecemos si seguimos el orden de elección presentado en el juego llegamos al número $4n+48$ que resulta que es el doble de la suma del primer y último número de cualesquiera de las diagonales $4n+48=2(2n+24)$.

También puede el alumno elegir un cuadro con 9 números $(3\times3)$, en este caso el número que le va a quedar al ir eliminando filas y columnas siguiendo las normas del juego será el triple del número que esté en el centro del cuadrado seleccionado.

Con juegos como este se pretende acercar un poco las matemáticas a los alumnos, ya que realmente es una disciplina que puede ser muy divertida, y seria.

En este vídeo estoy haciendo el juego con unos alumnos de Primaria del Colegio Rico Cejudo de Sevilla. Gracias a ellos por hacerme pasar una mañana tan divertida.

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid