Agua helada

En las últimas semanas las redes sociales han sido inundadas de vídeos donde aparece una persona que se tira un cubo de agua helada por encima. La idea surgió en una campaña de recogida de fondos para la investigación de la ELA (esclerosis lateral amiotrófica).

Las reglas son muy sencillas, quien se moja en el vídeo reta a otras tres personas a que hagan lo mismo, a la vez que los anima a que donen, 10 euros si aceptan el reto y 100 euros si no es así.

Durante el mes de agosto he tenido un grupo de alumnos de 3º de ESO a los que estaba preparando para sus exámenes de recuperación de matemáticas en septiembre. Uno de los puntos más importantes que se tratan en el currículo de 3º y 4º de ESO son las sucesiones. Para los que no lo conozcan una sucesión (en matemáticas) es un conjunto ordenado de números, que además a veces puede tener infinitos elementos, a los elementos de una sucesión se les llama con una letra y un subíndice, que nos indica el lugar que ocupa dicho número en la lista. Por ejemplo en la sucesión $A=\{2,4,6,8,\cdots \}$, podemos decir que el elemento que ocupa el lugar 1 es $2$, o también que $a_1=2$. De igual manera podríamos decir que $a_4=8$, etc. Toda sucesión debe estar bien definida, es decir, se podrá dar una regla, norma, etc., de manera que podamos deducir todos los elementos que forman dicha lista infinita de números.

Este concepto, que no me voy a extender más en explicar, es bastante abstracto para los alumnos, ya que les estamos hablando de una lista infinita por un lado, después le decimos que debemos obtener una norma que nos diga exactamente qué elemento ocupa cada lugar, por otro, osea, que seamos capaces de calcular $a_n\ $ sea quién sea el valor de $n$. Por último les decimos que vamos a poder sumar cierta cantidad de elementos de la sucesión, $a_1+a_2+\cdots+a_m$, de locos ¿verdad?.

Cuando estoy en clase incluyendo cualquier concepto siempre intento ponerle a los alumnos ejemplos que puedan tocar, o que de alguna manera sean de su interés.

Pues bueno, el otro día en clase les reté a que calculasen cuántas personas habían hecho el reto del cubo de agua helada después de 100 iteraciones en el juego.

Si nos fijamos en el juego, y suponiendo que todo el mundo acepte el reto, cuando empieza el reto comienza una persona, o lo que es lo mismo $a_1=1$, este se lo dice a tres, $a_2=3$, cada uno de estos a otros tres $a_3=3\times3=9$, y si hacemos un poco de cálculo observamos que cuando lleven 100 iteraciones habrá $a_{100}=3^{99}$. Esto no es más que una progresión geométrica de razón 3, la progresión geométrica es un caso particular de sucesiones en las que cada elemento viene dado por la potencia de un número, al que llamamos razón. El término general de una progresión geométrica es $a_n=a_1\cdot r^{n-1};\ n\in \mathbb{N}$, teniendo la razón y el primer elemento tenemos todos los miembros de la sucesión. Además podemos sumar un número finito de elementos de una progresión geométrica. Si llamamos $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ tenemos que

$$S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}$$

En el caso del cubo del agua helada y suponiendo que todo el mundo acepte tenemos

$$S_{100}=1\cdot\frac{3^{100}-1}{3-1}$$

que son muchas personas mojadas por una buena causa.

Mediante este ejemplo conseguí mantener a los alumnos atentos a mis explicaciones y además aprendieron que las matemáticas sirven para cosas muy diversas, interesantes y curiosas.