martes, 22 de octubre de 2013

Álgebra retórica

Uno de los primeros conceptos abstractos al que se enfrentan los estudiantes de ESO es a las expresiones algebraicas. Cuando los profesores mezclamos los números con letras, la “cosa” se complica exponencialmente. Lo que ellos no saben es que la manera de representar las ecuaciones no se inventó hasta el siglo XVII, pero que mucho antes, ya se resolvían problemas donde había una cantidad que descubrir despejando en una ecuación, pero sin ecuación. Es lo que se conoce como Álgebra retórica, heredada de los árabes y usada en Europa hasta el siglo XVII. Por ejemplo, la expresión algebraica $x^2+10x=39$, que a los alumnos les cuesta trabajo entender, antes de inventar el álgebra simbólica se expresaba como “un cuadrado más diez veces su raíz igual a treinta y nueve”, y ahora había que descubrir la incógnita, a la que llamaban “la cosa”, ¿no os parece precioso?. A continuación voy a poner un problema en álgebra retórica con su traducción al álgebra simbólica que usamos hoy en día, el problema es original del libro de al-Jw$\overline{a}$rizm$\overline{i}$, y lo he extraído de (Durán,2012): "Calcular dos cantidades, la diferencia entre ella es de dos dirhams, y al dividir la menor entre la mayor sale medio dirham". En la siguiente tabla, en la columna de la izquierda se incluye la solución tal y como la explicó al-Jw$\overline{a}$rizm$\overline{i}$, mientras que en la columna de la derecha aparece su traducción usando álgebra simbólica:



Tomas una de las cantidades como la cosa y la otra como la cosa más dos dírhams.


1ª cantidad $=x$
2ª cantidad $=x+2$

Divides la cosa entre la cosa más dos dírhams, y sale de la división medio dírham.


$$\frac{x}{x+2}=\frac{1}{2}$$

Y ya sabes que cuando multiplicas lo que te sale de la división por el divisor, vuelve a salir la cantidad que has dividido, que es la cosa.


$$x=\frac{x+2}{2}$$

Y dices: una cosa más dos dírhams por un medio es igual a media cosa más un dírham.


$$\frac{x+2}{2}=\frac{x}{2}+1$$

Y esto es igual a la cosa.


$$\frac{x}{2}+1=x$$

Resto la mitad de la cosa de la cosa y sale que un dírham es igual a la mitad de la cosa.


$$1=x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}$$

Multiplicas por dos y sale que la cosa es igual a dos dírhams, y la otra cantidad es igual a cuatro.


$$2=x$$

Precioso ejemplo de álgebra retórica. Si los chavales que están estudiando las ecuaciones en ESO dicen que son difíciles de resolver, lo que hay es que ponerles un examen de álgebra retórica, seguro que cambian de opinión.


Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia




REFERENCIA:
Durán, A. J. (2012). El ojo de Shiva, el sueño de Mahoma, Simbad... y los números. Barcelona: Ediciones Destino, S.A.

2 comentarios: